Question

设函数f（x）=-x²+ax（x∈[0，2]）．
（1）当a=1时，求f（x）（x∈[0，2]）的最小值；
（2）记f（x）（x∈[0，2]）的最小值为m（a），求m（a）的最大值M（a）．

Answer 1

分析：（1）当a=1时，f（x）=-x²+x，再根据x∈[0，2]，由抛物线的几何性质可知f（x）的最小值．
（2）函数f（x）=-x²+ax 的图象是开口向下的抛物线，对称轴为x=

a

2

．再根据x∈[0，2]，利用抛物线几何性质，分当a≤0时、0＜a≤2时、当a＞2时三种情况，分别求得m（a）．再由m（a）的解析式求得m（a）的最大值M（a）．

解答：解：（1）∵a=1，∴f（x）=-x²+x，其图形是开口向下的抛物线．
且与x轴的两个交点的横坐标分别是0，1．
又x∈[0，2]，由抛物线的几何性质可知：f（x）的最小值是f（2）=-2．
（2）∵函数f（x）=-x²+ax 的图象是开口向下的抛物线，对称轴为x=

a

2

．
且与x轴的两个交点的横坐标分别是0，a，a≠0．
若a=0，则与x轴只有一个交点，其横坐标是0．
又∵x∈[0，2]，∴由抛物线几何性质可知：
①当a≤0时，m（a）=f（2）=-4+2a；
②当0＜a≤2时，m（a）=f（2）=-4+2a；
③当a＞2时，m（a）=f（0）=0，
综合①②③可知 m（a）=

-4+2a ，a≤2 0 ，a＞2

．
当a≤2时，函数m（a）=-4+2a是单调递增函数，其最大值是M（a）=m（2）=0，
当a＞2时，又函数m（a）=0，
∴m（a）=

-4+2a ，a≤2 0 ，a＞2

 的最大值M（a）=0．

点评：本题主要考查求二次函数在闭区间上的最值，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．