Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠B=90°，D为棱BB₁上一点，且平面DA₁C⊥平面AA₁C₁C．
（1）求证：D点为棱BB₁的中点；
（2）若二面角A-A₁D-C的平面角为60°，求直线A₁C与平面ABB₁A₁所成的角的大小．

Answer 1

分析：（1）过点D作DE⊥A₁C于E点，取AC的中点F，连BF，EF．先证明DE⊥面AA₁C₁C，再证明D，E，F，B共面，进而有EF∥AA₁，又点F是AC的中点，即可得到结论；
（2）过B作BH⊥A₁G于点H，由三垂线定理知，A₁G⊥CH，则可得∠CHB为二面角A-A₁D-C的平面角，利用二面角A-A₁D-C的平面角为60°，即可得到结论．

解答：（1）证明：过点D作DE⊥A₁C于E点，取AC的中点F，连BF，EF

∵面DA₁C⊥面AA₁C₁C且相交于A₁C，面DA₁C内的直线DE⊥A₁C，
∴DE⊥面AA₁C₁C．
又∵面BAC⊥面AA₁C₁C且相交于AC，且△ABC为等腰三角形，易知BF⊥AC，
∴BF⊥面AA₁C₁C．由此知：DE∥BF，从而有D，E，F，B共面，又易知BB₁∥面AA₁C₁C，
故有DB∥EF，从而有EF∥AA₁，又点F是AC的中点，
所以DB=EF=

1

2

AA₁=

1

2

BB₁，所以D点为棱BB₁的中点；
（2）解：延长A₁D与直线AB相交于G，则过B作BH⊥A₁G于点H，由三垂线定理知，A₁G⊥CH
∴∠CHB为二面角A-A₁D-C的平面角
设AA₁=2b，AB=BC=a，则在直角△A₁AG中，AB=BG；
在直角△DBG中，BH=

BD×BG

DG

=

ab

a2+b2

在直角△CHB中，tan∠CHB=

BC

BH

=

a

ab a2+b2

=

3

∴

b

a

=

2

2

，∴

A1A

AB

=

2b

a

=

2

∵平面ABC⊥平面AA₁B₁B，平面ABC∩平面AA₁B₁B=AB，CB⊥AB
∴CB⊥面AA₁B₁B
∴∠BA₁C是直线A₁C与平面ABB₁A₁所成的角
在直角△BA₁C中，tan∠BA₁C=

BC

A1B

=

a

3 a

=

3

3

∴∠BA₁C=

π

6

，即直线A₁C与平面ABB₁A₁所成的角为

π

6

．

点评：本题考查平面与平面垂直的性质，考查面面角，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．