Question

已知三棱锥P-ABC中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=AB，N为AB上一点，AB=4AN，M，S分别为PB，BC的中点．
（Ⅰ）证明：CM⊥SN；
（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小．

Answer 1

【答案】分析：由PA=AC=AB，N为AB上一点，AB=4AN，我们不妨令PA=1，然后以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系．由此不难得到各点的坐标（1）要证明CM⊥SN，我们可要证明即可，根据向量数量积的运算，我们不难证明；
（2）要求SN与平面CMN所成角的大小，我们只要利用求向量夹角的方法，求出SN和方向向量与平面CMN的法向量的夹角，再由它们之间的关系，易求出SN与平面CMN所成角的大小．
解答：证明：设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图．
则P（0，0，1），C（0，1，0），B（2，0，0），
M（1，0，），N（，0，0），S（1，，0）．（4分）
（Ⅰ），
因为，
所以CM⊥SN（6分）
（Ⅱ），
设a=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，
则令x=2，得a=（2，1，-2）．
因为，
所以SN与片面CMN所成角为45°．
点评：如果已知向量的坐标，求向量的夹角，我们可以分别求出两个向量的坐标，进一步求出两个向量的模及他们的数量积，然后代入公式cosθ=即可求解