Question

10．如图，在正四面体ABCD（正四面体是所有棱长都相等的四面体）中，棱长为2，E、F分别为BC、AD的中点．
（Ⅰ）求$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CF}$的值；
（Ⅱ）求二面角A-BC-D的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$，由此能求出结果．
（Ⅱ）连接DE，则∠AED为二面角A-BC-D的平面角，由此能求出二面角A-BC-D的余弦值．

解答 解：（Ⅰ）∵在正四面体ABCD（正四面体是所有棱长都相等的四面体）中，
棱长为2，E、F分别为BC、AD的中点，
∴$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，
$\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$，
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CF}$=（$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$）•（$\overrightarrow{CA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AD}$）
=$\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{CA}$+$\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{CA}$+$\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AD}$+$\frac{1}{4}\overrightarrow{AC}•\overrightarrow{AD}$
=$\frac{1}{2}×|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{CA}|×cos120°$-$\frac{1}{2}×|\overrightarrow{AC}{|}^{2}$+$\frac{1}{4}×|\overrightarrow{AB}|•|\overrightarrow{AD}|×cos60°$+$\frac{1}{4}×|\overrightarrow{AC}|•|\overrightarrow{AD}|×cos60°$
=$\frac{1}{2}×2×2×（-\frac{1}{2}）-\frac{1}{2}×{2}^{2}+\frac{1}{4}×2×2×\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}×2×2×\frac{1}{2}$=-2，
∴$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{CF}=-2$．
（Ⅱ）连接DE，则∠AED为二面角A-BC-D的平面角，
∵AB=AC=2，
∴$AE=\sqrt{3}，DE=\sqrt{3}，AD=2$，
∴$cos∠AED=\frac{1}{3}$，
∴二面角A-BC-D的余弦值为$\frac{1}{3}$．

点评 本题考查向量的数量积的求法，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．