Question

函数f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，函数的解析式为f(x)=

2

x

-1．
（1）求f（-1）的值；
（2）求当x＜0时，函数的解析式；
（3）用定义证明f（x）在（0，+∞）上是减函数．

Answer 1

（1）因为f（x）是奇函数，所以f（-1）=-f（1）=-（2-1）=-1；
（2）设x＜0，则-x＞0，所以f(-x)=

2

-x

-1，
又f（x）为奇函数，所以上式即-f(x)=

2

-x

-1，
所以f（x）=

2

x

+1；
（3）设x₁，x₂是（0，+∞）上的两个任意实数，且x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=(

2

x1

-1)-(

2

x  2

-1)=2（

x2-x1

x1x2

）．
因为x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，所以2（

x2-x1

x1x2

）＞0，则f（x₁）＞f（x₂）
因此f(x)=

2

x

-1．是（0，+∞）上的减函数．