Question

【题目】已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若对任意，都有成立，求实数的最小值.

Answer 1

【答案】（1）函数的单增区间为，单减区间为（2）的最小值为1

【解析】

(1)求导后列表分析函数单调性即可.

(2)由(1)可知的最小值为,再根据恒成立问题的方法分情况分析的最小值即可.

解：（1）由解得,

则及的情况如下：

		2
	-	0	+
		极小值

所以函数的单增区间为,单减区间为；

（2）法一：

当时,.

当时,.

若,由（1）可知的最小值为,的最大值为,

所以“对任意,有恒成立”

等价于“”,

即,

解得.

所以的最小值为1.

法二：

当时,.

当时,.

且由（1）可知,的最小值为,

若,即时,

令,则任取,

有,

所以对成立,

所以必有成立,所以,即.

而当时,,,,

所以,即满足要求,

而当时,求出的的值,显然大于1,

综上,的最小值为1.