Question

【题目】已知抛物线 的焦点为,过抛物线上的动点（除顶点外）作的切线交轴于点.过点作直线的垂线（垂足为）与直线交于点.

（Ⅰ）求焦点的坐标；

（Ⅱ）求证：；

（Ⅲ）求线段的长.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）见解析（Ⅲ）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）由抛物线方程，可得 ，从而得焦点的坐标；（Ⅱ）设，利用导数的几何意义可得过点的切线的斜率为，从而得，根据过两点的斜率公式可得，从而可得结论；（Ⅲ）由(Ⅱ)可设直线的方程为，.直线的方程为 .设和交点的坐标为，联立直线方程可得，，代入圆的方程结果.

试题解析：（Ⅰ）由抛物线方程，可得 ，可得

（Ⅱ）设.由，得，则过点的切线的斜率为.

则过点的切线方程为.令，得，即.又点为抛物线上除顶点外的动点，，则.而由已知得，则.又，即与不重合，即.

（Ⅲ）由(Ⅱ)问，直线的方程为，.直线的方程为 .设和交点的坐标为则

由（1）式得，（由于不与原点重合，故）.代入（2），化简得 .又，化简得, （）.

即点在以为圆心，1为半径的圆上.（原点与除外）

即.