Question

在锐角△ABC中，角A，B，C所对应的边为a，b，c，已知cosC+(

3

cosA-sinA)•sinB=0，则tanB=

 

．

Answer 1

分析：根据三角形内角和定理与诱导公式，可得cosC=-cos（A+B）=-（cosAcosB-sinAsinB）．代入题中的等式并化简整理，得到cosA（

3

sinB-cosB）=0，结合△ABC是锐角三角形解出cosB=

3

sinB，再利用同角三角函数的关系即可算出tanB的值．

解答：解：∵在△ABC中，A+B=π-C，
∴cosC=-cos（π-C）=-cos（A+B）=-（cosAcosB-sinAsinB）．
又∵cosC+(

3

cosA-sinA)•sinB=0，
∴-（cosAcosB-sinAsinB）+(

3

cosA-sinA)•sinB=0，
化简得cosA（

3

sinB-cosB）=0．
∵在锐角△ABC中，cosA＞0，
∴

3

sinB-cosB=0
，即cosB=

3

sinB，
可得tanB=

sinB

cosB

=

sinB

3 sinB

=

3

3

．
故答案为：

3

3

点评：本题给出三角形的角满足的三角函数等式，求角B的正切值．着重考查了两角和的余弦公式、同角三角函数的基本关系与诱导公式等知识，属于中档题．