Question

当x∈（1，2）时，不等式x-1＜log_ax恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：作差构造新函数f（x）=log_ax-x+1，利用导数研究函数最值证明不等式恒成立，从而求出a的取值范围．

解答：解：∵x-1＜log_ax在（1，2）上恒成立
∴log_ax-x+1＞0在（1，2）上恒成立
令f（x）=log_ax-x+1
f′（x）=

1

xlna

-1
令f′（x）=

1

xlna

-1=0解得x=

1

lna

当0＜a＜1时，f′（x）＜0
则函数f（x）在（1，2）上单调递减，则log_a2-2+1≥0即1＜a≤2，此时a无解
当1＜a≤

e

时

1

lna

≥2，f′（x）＞0
则函数f（x）在（1，2）上单调递增，则log_a1-1+1≥0，此时1＜a≤

e

当

e

＜a＜e时1＜

1

lna

＜2，
则函数f（x）在（1，

1

lna

）上单调递增，在（

1

lna

，2）上单调递减，log_a2-2+1≥0即1＜a≤2，此时

e

＜a≤2
当a≥e时0＜

1

lna

≤1，f′（x）＜0
则函数f（x）在（1，2）上单调递减，则log_a2-2+1≥0即1＜a≤2，此时a无解
综上所述：1＜a≤2

点评：本题考查的知识点是对数函数的单调性与特殊点，以及函数恒成立问题，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．