Question

在数列{a_n}中，已知a₁=

2

3

，a_n=

2an-1

2an-1+1

．
（1）求a₂、a₃并判断{a_n}能否为等差或等比数列；
（2）令b_n=

1

an

，求证：{b_n-2}为等比数列；
（3）求数列{

n•2n

an

}的前n项和s_n．

Answer 1

分析：（1）根据所给递推公式，依次代入n=2，n=3，就可求解，利用等差和等比数列的定义即可判断出答案；
（2）将所给递推公式进行变形，得到b_n和b_n-1的递推关系，构造出bn-2=

1

2

(bn-1-2)，即可证得{b_n-2}为等比数列；
（3）求出数列{

n•2n

an

}的通项的表达式，利用错位相减法，即可求得数列{

n•2n

an

}的前n项和S_n．

解答：解：（1）∵a₁=

2

3

，a_n=

2an-1

2an-1+1

，
∴a₂=

2a1

2a1+1

=

4

7

，
a₃=

2a2

2a2+1

=

8

15

，
数列{a_n}既不是等差数列也不是等比数列；
（2）证明：∵a_n=

2an-1

2an-1+1

，
∴

1

an

=

2an-1+1

2an-1

=

1

2

1

an-1

+1，
∵b_n=

1

an

，则bn=

1

2

bn-1+1，
∴bn-2=

1

2

(bn-1-2)，
∴{b_n-2}是首项为-

1

2

，公比为

1

2

的等比数列；
（3）由（2）可知，b_n-2=-（

1

2

）ⁿ，
∴b_n=

1

an

=2-（

1

2

）ⁿ，
∴

n•2n

an

=n•2n+1-n，
令T_n=1×2²+2×2³+…+n×2ⁿ⁺¹，
∴2T_n=1×2³+…+（n-1）×2ⁿ⁺¹+n×2ⁿ⁺²，
∴-T_n=2²+2³+…+2^n-1-n×2ⁿ⁺²=

4(1-2n)

1-2

-n×2ⁿ⁺²=-4+（1-n）2ⁿ⁺²，
∴T_n=4+（n-1）2ⁿ⁺²，
∴S_n=4+（n-1）2ⁿ⁺²-

n(n+1)

2

，

点评：本题考查了数列的递推公式，求数列的通项公式，求数列的和．解题时要注意观察所给表达式的特点，根据式子的特点判断选用何种方法进行解题．本题求通项公式选用了构造新数列的方法求解，求和时选用了错位相减法，要注意错位相减法适用于一个等差数列乘以一个等比数列的形式．属于中档题．