Question

【题目】如图，在平面四边形中，等边三角形，，以为折痕将折起，使得平面平面．

（1）设为的中点，求证：平面；

（2）若与平面所成角的正切值为，求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】(1)见证明；(2)

【解析】

（1）推导出平面，从而，再求出，由此能证明平面．

（2）由平面，知即为与平面所成角，从而在直角中，，以为坐标原点，分别以，所在的方向作为轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系．利用向量法能求出二面角的余弦值．

证明：（1）因为平面平面，

平面平面，平面，，

所以平面．

又平面，所以．

在等边中，因为为的中点，所以．

因为，，，

所以平面．

（2）解：由（1）知平面，所以即为与平面所成角，

于是在直角中，．

以为坐标原点，分别以，所在的方向作为轴、轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．

设等边的边长为，

则，，，，，

，，，.

设平面的一个法向量为，

则，即，

令，则，，于是.

设平面的一个法向量为，

则，即，

解得，令，则，于是．

所以.

由题意知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为．