如图.椭圆的上.下顶点分别为A.B.已知点B在直线l:上.且椭圆的离心率e =．(1)求椭圆的标准方程,(2)设P是椭圆上异于A.B的任意一点.PQ⊥y轴.Q为垂足.M为线段PQ中点.直线AM交直线l于点C.N为线段BC的中点.求证:OM⊥MN．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图，椭圆 (a>b>0)的上、下顶点分别为A、B，已知点B在直线l：上，且椭圆的离心率e =．

(1)求椭圆的标准方程；
(2)设P是椭圆上异于A、B的任意一点，PQ⊥y轴，Q为垂足，M为线段PQ中点，直线AM交直线l于点C，N为线段BC的中点，求证：OM⊥MN．

（1）；（2）详见解析.

解析试题分析：（1）根据椭圆的性质，建立方程，即可求得；（2）可以设点P坐标，然后用点P的坐标表示M、N的坐标，进而可以表示、，然后说明即可.
试题解析：（1）依题意，得． ∵，，∴．
∴椭圆的标准方程为
（2）证明：设，，则，且．∵为线段中点， ∴．又，∴直线的方程为．令，得．又，为线段的中点，∴．
当时，，
此时，
∴，不存在，∴．
当时，，
，
∵，∴
综上得.
考点：(1)椭圆的标准方程；（2）两条直线垂直的条件.

练习册系列答案

相关题目

已知椭圆C：（a>b>0），过点(0，1)，且离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)A，B为椭圆C的左右顶点，直线l：x=2与x轴交于点D，点P是椭圆C上异于A，B的动点，直线AP，BP分别交直线l于E，F两点．证明：当点P在椭圆C上运动时，恒为定值．

在平面直角坐标系xOy中，设曲线C₁：所围成的封闭图形的面积为，曲线C₁上的点到原点O的最短距离为．以曲线C₁与坐标轴的交点为顶点的椭圆记为C₂．
（1）求椭圆C₂的标准方程；
（2）设AB是过椭圆C₂中心O的任意弦，l是线段AB的垂直平分线．M是l上的点（与O不重合）．
①若MO＝2OA，当点A在椭圆C₂上运动时，求点M的轨迹方程；
②若M是l与椭圆C₂的交点，求△AMB的面积的最小值．

如图，椭圆C：的左顶点为A，M是椭圆C上异于点A的任意一点，点P与点A关于点M对称.

（1）若点P的坐标，求m的值；
（2）若椭圆C上存在点M，使得，求m的取值范围.

设椭圆的左、右焦点分别、，点是椭圆短轴的一个端点，且焦距为6，的周长为16．
（I）求椭圆的方程；
（2）求过点且斜率为的直线被椭圆所截的线段的中点坐标．

已知椭圆：的离心率为，右焦点为(，0)．
(1)求椭圆的方程；
(2)若过原点作两条互相垂直的射线，与椭圆交于，两点，求证：点到直线的距离为定值.

已知圆 ,若椭圆的右顶点为圆的圆心，离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若存在直线，使得直线与椭圆分别交于两点，与圆分别交于两点，点在线段上，且，求圆的半径的取值范围．

椭圆以双曲线的实轴为短轴、虚轴为长轴，且与抛物线交于两点.
（1）求椭圆的方程及线段的长；
（2）在与图像的公共区域内，是否存在一点，使得的弦与的弦相互垂直平分于点？若存在，求点坐标，若不存在，说明理由.

抛物线y²＝2px的准线方程为x＝－2，该抛物线上的每个点到准线x＝－2的距离都与到定点N的距离相等，圆N是以N为圆心，同时与直线l₁：y＝x和l₂：y＝－x相切的圆，
(1)求定点N的坐标；
(2)是否存在一条直线l同时满足下列条件：
①l分别与直线l₁和l₂交于A、B两点，且AB中点为E(4，1)；
②l被圆N截得的弦长为2.

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