题目内容

已知关于x的不等式x2+x+t＞0对x∈R恒成立，则t的取值集合是________．


分析：由题意得关于x的不等式x2+x+t＞0对x∈R恒成立即其对应的二次函数y=x2+x+t的图象恒在x轴的上方，所以△=1-4t＜0所以
解答：题意得由设y=x2+x+t
∵关于x的不等式x2+x+t＞0对x∈R恒成立
∴二次函数y=x2+x+t的图象恒在x轴的上方
∴△=1-4t＜0
解得
所以t的取值集合是
点评：本题考查的是恒成立问题，这类问题一般是不等式与函数，方程相结合，是高考考查的重点，也是学生学习的难点．
练习册系列答案
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研究问题：“已知关于x的不等式ax2-bx+c＞0，解集为（1，2），解关于x的不等式cx2-bx+a＞0”有如下解法：
解：由cx2-bx+a＞0且x≠0，所以
(c×2-bx+a)
x2
＞0得a（
1
x
）2-
b
x
+c＞0，设
1
x
=y，得ay2-by+c＞0，由已知得：1＜y＜2，即1＜
1
x
＜2，∴
1
2
＜x＜1所以不等式cx2-bx+a＞0的解集是（
1
2
，1）．
参考上述解法，解决如下问题：已知关于x的不等式
b
(x+a)
+
(x+c)
(x+d)
＜0的解集是：（-3，-1）∪（2，4），则不等式
bx
(ax-1)
+
(cx-1)
(dx-1)
＜0的解集是
(-
1
2
，-
1
4
)∪(
1
3
，1)
(-
1
2
，-
1
4
)∪(
1
3
，1)
．
选修4-5：不等式选讲
已知关于x的不等式|x-3|+|x-4|＜3a2-7a+4．
（1）当a=2时，解上述不等式；
（2）如果关于x的不等式|x-3|+|x-4|＜23a2-7a+4的解集为空集，求实数a的取值范围．
（1）几何证明选讲：如图，CB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，A为切点，AP与CB的延长线交于点P，若PA=8，PB=4，求AC的长度．
（2）坐标系与参数方程：在极坐标系Ox中，已知曲线C1：ρcos(θ+
π
4
)=
2
2
与曲线C2；ρ=1相交于A、B两点，求线段AB的长度．
（3）不等式选讲：解关于x的不等式|x-1|+a-2≤0（a∈R）．
已知关于x的不等式x+
1x-a
≥7在x∈(a，+∞)上恒成立，则实数a的最小值为
5
5
．

已知关于x的不等式|x－3|+|x－4|< 3a2－7a+4．

（1）当a=2时，解上述不等式；

（2）如果关于x的不等式| x－3|+|x－4|< 23a2－7a+4的解集为空集，求实数a的取值范围．

 

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