Question

（2012•安徽模拟）已知函数f（x）=x²+bx+2．
（I）若当x∈[-1，4]时，f（x）≥b+3恒成立，求f（x）；
（II）若函数f（x）的定义域与值域都是[0，2]，求b的值．

Answer 1

分析：（I）由于f（1）=b+3，即当x∈[-1，4]时，f（x）≥f（1）恒成立，故函数f（x）的图象的对称轴为x=1，由此可得函数的解析式；
（II）由于f（0）=2，所以b＜0，函数的对称轴为x=-

b

2

＞0，利用函数f（x）的定义域与值域都是[0，2]，建立不等式，即可求b的值．

解答：解：（I）由于f（1）=b+3，即当x∈[-1，4]时，f（x）≥f（1）恒成立，
故函数f（x）的图象的对称轴为x=1，
∴-

b

2

=1
∴b=-2
∴f（x）=x²-2x+2；
（II）由于f（0）=2，所以b＜0，函数的对称轴为x=-

b

2

＞0
∵函数f（x）的定义域与值域都是[0，2]，
∴

f(2)=6+2b=0 - b 2 ≥2

或

△=b2-8=0 2＞- b 2 ＞0 f(2)=6+2b≤2

∴b=-2

2

点评：本题考查函数恒成立问题，考查函数的定义域与值域，解题的关键是确定函数的对称轴，建立不等关系，属于中档题．