Question

设数列{a_n}的前n项和为．
（1）求a₁，a₂，a₃；
（2）证明：{a_n+1-2a_n}是等比数列；
（3）求{a_n}的通项公式．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用，n分别取1，2，3，代入计算可求a₁，a₂，a₃；
（2）利用，再写一式，化简即可证明{a_n+1-2a_n}是等比数列；
（3）由，可得n≥2时，=+1，利用累加法，即可求{a_n}的通项公式．
解答：（1）解：∵，∴，∴a₁=2．…（1分）
=2+2²=6…（2分）
=8+2³=16…（3分）
（2）证明：∵，
∴当n≥2时，…（4分）
∴两式相减可得…（6分）
∴=2，…（7分）
∴{a_n+1-2a_n}是首项为2，公比为2的等比数列．…（8分）
（3）解：由（2）得，
∴n≥2时，=+1…（10分）
由累加法可得
∴a_n=（n+1）•2^n-1．…（12分）
当n=1时，a₁=2也满足上式，…（13分）
∴a_n=（n+1）•2^n-1…（14分）
点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查数列的通项，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．