Question

【题目】设定义在上的函数满足：对于任意的、，当时，都有.

（1）若，求的取值范围；

（2）若为周期函数，证明：是常值函数；

（3）设恒大于零，是定义在上、恒大于零的周期函数，是的最大值.

函数. 证明：“是周期函数”的充要条件是“是常值函数”.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析

【解析】试题分析：（1）由，可得函数是一个不递减函数，得，即可求解实数的取值范围；

（2）利用反证法，假设不是常值函数，令，且存在一个，使得，由函数的性质得到，从而得出矛盾，即可作出证明；

（3）充分性及必要性的证明：类似(2)证明充分性；再证必要性，然后分类证明即可.

试题分析：

（1）因为对于任意的，当时，都有，即可知道函数是一个不递减的函数，即.若，其导函数为，可以得到.

（2）假设不是常值函数，并且其周期为.

令，且存在一个，使得.由于的性质可知，，且.因为是周期函数，所以，这与前面的结论矛盾，所以假设不成立，即是常值函数.

（3）充分性证明：当为常值函数时，令，即，因为是周期函数，所以也是周期函数.

必要性证明：当是周期函数时，令周期为.即有，则，又因为是周期函数，所以.即可得到，所以是周期函数，由（2）的结论可知，是常值函数.

综上所述，是周期函数的充要条件是是常值函数.