Question

如图，已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥底面ABC，AC=BC=2，AA₁=4，AB=2，M，N分别是棱C
C₁，AB中点，
（Ⅰ）求证：CN⊥平面ABB₁A₁；
（Ⅱ）求证：CN∥平面AMB₁；
（Ⅲ）求三棱锥B₁-AMN的体积。

Answer 1

（Ⅰ）证明：因为三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC， 又因为平面ABC， 所以， 因为，N是AB中点， 所以CN⊥AB， 因为， 所以CN⊥平面ABB1A1。
（Ⅱ）证明：取AB1的中点G，连结MG，NG， 因为N，G分别是棱AB，AB1中点， 所以， 又因为， 所以CM∥NG，CM=NG， 所以四边形CNGM是平行四边形， 所以CN∥MG， 因为， 所以CN∥平面AMB1。
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知GM⊥平面， 所以。