题目内容

已知定义在R上的函数f（x）=asinωx+bcosωx（ω＞0，a＞0，b＞0）的周期为π，f(
π
4
)=
3
，且f（x）的最大值为2．
（1）写出f（x）的表达式；
（2）写出函数f（x）的单调递增区间、对称中心、对称轴方程；
（3）说明f（x）的图象如何由函数y=2sinx的图象经过怎样的变换得到．
分析：（1）先把函数化为y=Asin（ωx+∅）的形式，则周期T=
2π
w
，最大值为
a2+b2
，再与所给函数的周期，最大值比较，就可得到两个含a，b，ω的等式，根据f(
π
4
)=
3
再得到一个含a，b，ω的等式，就可求出a，b，ω的值，得到f（x）的表达式．
（2）由（1）中得到的函数f（x）的解析式，先化简为y=Asin（ωx+∅），把ωx+∅看成一个整体，就可借助基本正弦函数的单调性，对称轴，对称中心，求出f（x）的单调递增区间、对称中心、对称轴方程．
（2）利用函数的平移，伸缩变换，把函数y=2sinx的图象向左平移
π
6
个单位，得到函数y=2sin(x+
π
6
)的图象，再将y=2sin(x+
π
6
)图象的横坐标缩小到原来的
1
2
，即得f(x)=
3
sin2x+cos2x的图象．
解答：解：（1）f（x）=asinωx+bcosωx=
a2+b2
sin（ωx+∅），其中φ为辅助角，且tanφ=
b
a
，
∴T=
2π
w
=π，∴ω=2
∵f(
π
4
)=
3
，∴asin
π
2
+bcos
π
2
=
3
，即a=
3

∵f（x）的最大值为2，∴
a2+b2
=2，解得，b=1
∴f(x)=
3
sin2x+cos2x
（2）由（1）得，f(x)=
3
sin2x+cos2x=2sin（2x+
π
6
）
令-
π
2
+2kπ ≤2x+
π
6
≤
π
2
+2kπ，k∈Z，解得，kπ-
π
3
≤x≤kπ+
π
6
，k∈Z
∴函数的单调递增区间[kπ-
π
3
，kπ+
π
6
]，k∈Z；
令2x+
π
6
=kπ，k∈Z，解得，x=
kπ
2
-
π
12
，k∈Z
∴函数的对称中心为(
kπ
2
-
π
12
，0)，k∈Z；
令2x+
π
6
=kπ+
π
2
，k∈Z，解得，x=
kπ
2
+
π
6
，k∈Z
对称轴方程为x=
kπ
2
+
π
6
，k∈Z
（3）f(x)=
3
sin2x+cos2x的图象可先由函数y=2sinx的图象向左平移
π
6
个单位，得到函数y=2sin(x+
π
6
)的图象，再将y=2sin(x+
π
6
)图象的横坐标缩小到原来的
1
2
，即得f(x)=
3
sin2x+cos2x的图象．
点评：本题主要考查y=Asin（ωx+∅）形式的函数的单调性，周期，对称性的判断，以及图象如何由基本正弦函数图象经过平移，伸缩变换得到．属于常规题．
练习册系列答案
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已知定义在R上的函数y=f（x）满足下列条件：
①对任意的x∈R都有f（x+2）=f（x）；
②若0≤x1＜x2≤1，都有f（x1）＞f（x2）；
③y=f（x+1）是偶函数，
则下列不等式中正确的是（　　）
已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x）=
f(x-1)-f(x-2)，x＞0
log2(1-x)，       x≤0
  则：
①f（3）的值为
0
0
，
②f（2011）的值为
-1
-1
．
已知定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且x∈（-1，1]时f(x)=
1，(-1＜x≤0)
-1，(0＜x≤1)
，则f（3）=（　　）
已知定义在R上的函数f（x）是偶函数，对x∈R都有f（2+x）=f（2-x），当f（-3）=-2时，f（2013）的值为（　　）
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A、0B、2013C、3D、-2013

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