Question

求满足下列条件的导数f(x)．

(1)f(x)是三次函数，且f(0)＝3，(0)＝0．(1)＝－3，(2)＝0；

(2)(x)是一次函数，x²(x)－(2x－1)f(x)＝1．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)设f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，则(x)＝3ax2＋2bx＋c． 　　由f(0)＝3，得d＝3．由(0)＝0，得c＝0． 　　由(1)＝－3，(2)＝0可建立方程组 　　 　　所以f(x)＝x3－3x2＋3． 　　(2)由(x)为一次函数可知f(x)为二次函数． 　　设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则(x)＝2ax＋b． 　　把f(x)、(x)代入方程得x2(2ax＋b)－(2x－1)(ax2＋bx＋c)＝1， 　　即(a－b)x2＋(b－2c)x＋c－1＝0． 　　要使对任意的x方程都成立，则需a＝b，b＝2c，c＝1． 　　解得a＝2，b＝2，c＝1．所以f(x)＝2x2＋2x＋1． 　　思路分析：(1)可设三次函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)．由条件确定a、b、c、d．(2)由(x)是一次函数，可设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，然后用条件确定f(x)．

提示：

解决此题首先要将三次函数，二次函数一般形式设出，根据已知条件逐个列出方程．利用待定系数法确定函数的系数是方便可行的方法．