题目内容

求sin18°的值．

答案：
解析：

　　解：∵sin36°＝cos54°，

　　∴2sin18°cos18°＝4cos318°－3cos18°．

　　又∵cos18°≠0，

　　∴2sin18°＝4(1－sin218°)－3，

　　∴4sin218°＋2sin18°－1＝0．

　　解这个关于sin18°的一元二次方程得

　　sin18°＝．

　　∵sin18°＞0，∴sin18°＝．


练习册系列答案
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求cos36°-sin18°的值．
由倍角公式cos2x=2cos2x-1，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式．对于cos3x，我们有
cos3x=cos（2x+x）
=cos2xcosx-sin2xsinx
=（2cos2x-1）cosx-2（sinxcosx）sinx
=2cos3x-cosx-2（1-cos2x）cosx
=4cos3x-3cosx
可见cos3x可以表示为cosx的三次多项式．一般地，存在一个n次多项式Pn（t），使得cosnx=Pn（cosx），这些多项式Pn（t）称为切比雪夫多项式．
（I）求证：sin3x=3sinx-4sin3x；
（II）请求出P4（t），即用一个cosx的四次多项式来表示cos4x；
（III）利用结论cos3x=4cos3x-3cosx，求出sin18°的值．

 （08年扬州中学）

    

     （1）推导sin3α关于sinα的表达式；

（2）求sin18°的值．
由倍角公式cos2x=2cos2x-1，可知cos2x可以表示为cosx的二次多项式．对于cos3x，我们有
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=（2cos2x-1）cosx-2（sinxcosx）sinx
=2cos3x-cosx-2（1-cos2x）cosx
=4cos3x-3cosx
可见cos3x可以表示为cosx的三次多项式．一般地，存在一个n次多项式Pn（t），使得cosnx=Pn（cosx），这些多项式Pn（t）称为切比雪夫多项式．
（I）求证：sin3x=3sinx-4sin3x；
（II）请求出P4（t），即用一个cosx的四次多项式来表示cos4x；
（III）利用结论cos3x=4cos3x-3cosx，求出sin18°的值．

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