题目内容
在平面直角坐标系
中，椭圆
为
（1）若一直线与椭圆交于两不同点
，且线段
恰以点
为中点，求直线的方程；
（2）若过点
的直线
（非
轴）与椭圆相交于两个不同点
试问在轴上是否存在定点
，使
恒为定值
？若存在，求出点
的坐标及实数的值；若不存在，请说明理由.
【答案】
（1）
；（2）在
轴上存在定点
，使
恒为定值
。
【解析】本试题主要是考查了直线与圆的位置关系综合运用。
（1）
点
在椭圆内部，
直线
与椭圆必有公共点
再利用点差法得到中点坐标与直线斜率的关系式，
（2）假定存在定点
，使恒为定值
由于直线
不可能为轴
于是可设直线的方程为
且设点
将
代入
得到一元二次方程，进而利用向量的关系得到参数的值。
解：（1）点在椭圆内部，直线与椭圆必有公共点
设点
，由已知
，则有
两式相减，得
而
直线的斜率为
直线的方程为
（2） 假定存在定点，使恒为定值
由于直线不可能为轴
于是可设直线的方程为且设点
将代入得
.
显然
，
则
若存在定点使
为定值（与
值无关），则必有
在轴上存在定点，使恒为定值
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