Question

【题目】（本题满分15分）已知点是圆上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为，点满足 记点的轨迹为曲线．

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）设，点在曲线上，且直线与直线的斜率之积为，求的面积的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

试题（Ⅰ）求动点轨迹方程的题目求解步骤是：建系，设所求点，找到所求点的关系式并坐标化，整理化简，检验结论（Ⅱ）首先设出直线方程，与椭圆方程联立，由直线与直线的斜率之积为找到M,N两点坐标满足的关系式，进而求出弦长MN，找到三角形面积的函数表达式，求最值

试题解析：（I）设，，则．，，

，故点的轨迹方程：． 6分

（Ⅱ）（1）当直线的斜率不存在时，设．

则，，，不合题意． 7分

（2）当直线的斜率存在时，设，,

联立方程，得．

，，． 9分

又，

即．

将，代入上式，得．

直线过定点． 11分

． 13分

令，即，．

当且仅当时，． 15分