Question

解下列不等式
（1）x²-2x-3＜0
（2）

x2+2x-3

-x2+x+6

≤0．

Answer 1

分析：（1）求出方程x²-2x-3=0的两个根，即可求得不等式的解集；
（2）利用分式不等式的解法，将不等式等价转化为

(x2+2x-3)(-x2+x+6)≤0 -x2+x+6≠0

，再进行化简，分别求解后取交集，即可得到不等式的解集．

解答：解：（1）∵x²-2x-3=0的解为x₁=3或x₂=-1，
∴不等式x²-2x-3＜0变形为（x+1）（x-3）＜0，
解得-1＜x＜3，
故不等式x²-2x-3＜0的解集为{x|-1＜x＜3}；
（2）不等式

x2+2x-3

-x2+x+6

≤0可以等价转化为

(x2+2x-3)(-x2+x+6)≤0 -x2+x+6≠0

，
化简整理可得，

-(x-1)(x+3)(x-3)(x+2)≤0 x≠-2且x≠3

，即

x≤-3或-2≤x≤1或x≥3 x≠-2且x≠3

，
解得x≤-3或-2＜x≤1或x＞3，
故不等式

x2+2x-3

-x2+x+6

≤0的解集为{x|x≤-3，或-2＜x≤1，或x＞3}．

点评：本题考查了一元二次不等式的解法，分式不等式的解法，高次不等式的解法．要求解一元二次不等式时，要注意与一元二次方程的联系，以及与二次函数之间的关系．求解不步骤是：判断最高次系数的正负，将负值转化为正值，确定一元二次方程的根的情况，利用二次函数的图象，写出不等式的解集．对于分式不等式，一般是“移项，通分”，将分式不等式转化为各个因式的正负问题．高次不等式一般选用“穿根法”进行求解，“穿根法”要注意先确定各因式的根，在数轴上按照从小到大标出来，确定各因式的系数为正值，根据“奇穿偶不穿”的原则，即可得到不等式的解集．属于基础题．