Question

设数列{a_n}是有穷等差数列，给出下面数表：

上表共有n行，其中第1行的n个数为a₁，a₂，a₃…a_n，从第二行起，每行中的每一个数都等于它肩上两数之和．记表中各行的数的平均数（按自上而下的顺序）分别为b₁，b₂，b₃…b_n． （1）求证：数列b₁，b₂，b₃…b_n成等比数列；
（2）若a_k=2k﹣1（k=1，2，…，n），求和．

Answer 1

（1）证明：由题设易知，=，
=．
设表中的第k（1≤k≤n﹣1）行的数为c₁，c₂…c_n﹣k+1，显然c₁，c₂…c _n﹣k+1，成等差数列，
则它的第k+1行的数是c₁+c₂，c₂+c₃…c _n﹣k+c _n﹣k+1也成等差数列，
它们的平均数分别是，
b _k+1=c₁+c _n﹣k+1，
于是（1≤k≤n﹣1，k∈N*）．
故数列b₁，b₂…b_n是公比为2的等比数列．
（2）由（1）知，=，
故当a_k=2k﹣1时，，．
于是n．         
设，则S=1×2⁰+3×2¹+5×2²+…+（2n﹣1）×2 ^n﹣1  ①
2S=12+3×2²+…+（2n﹣3）×2 ^n﹣1+（2n﹣1）×2ⁿ   ②
①﹣②得，﹣S=1×2⁰+2（2+2²+…+2 ^n﹣1）﹣（2n﹣1）2ⁿ，
化简得，S=（2n﹣1）2ⁿ﹣2 ⁿ⁺¹+3，
故=n（2n﹣1）×2n﹣n×2 ⁿ⁺¹+3n．