Question

如图，已知ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,PD=AD=2.

(1)求PC与平面PBD所成的角;

(2)求点D到平面PAC的距离;

(3)在线段PB上是否存在一点E,使PC⊥平面ADE?若存在,确定E点的位置,若不存在,说明理由.

Answer 1

解:（1）如图建立空间直角坐标系D—xyz，∵PD=AD=2,?

则D（0，0，0），A（2，0，0）,O（1，1，0）,B(2,2,0),C(0,2,0),P(0,0,2).?

(1)∵正方形ABCD，?

∴OC⊥DΒ，?

∵PD⊥平面ABCD，OC 面ABCD，?

∴PD⊥OC.?

又∵DB∩PD=D，∴OC⊥平面PBD.?

∴∠CPO为PC与平面PBD所成的角.?

∵=(0,2,-2),=(1,1,-2),?

∴cos〈,〉==.?

∴PC与平面PBD所成的角为30°.?

(2)过D作DF⊥平面PAC于点F，设平面PAC的法向量为n=(x,y,z).?

即

令x=1,则y=1,z=1.?

∴n=(1,1,1).?

∴cos〈n,〉===.?

∴D到平面PAC的距离||=||×cos〈n,〉=.?

(3)假设在PB上存在E点，使PC⊥平面ADE，则=λ.?

∵=(2,2,-2),∴=(2λ,2λ,-2λ),?

∴E(2λ,2λ,2-2λ).?

∴=(2λ-2,2λ,2-2λ).?

要使PC⊥平面ADE，即使PC⊥AE，即使·=8λ-4=0.?

即使λ=.?

∴E(1,1,1),∴存在E点且E为PB的中点时PC⊥平面ADE.