已知向量$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$.|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2.定义:$\overrightarrow{{c} {λ}}$=λ$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$.其中0≤λ≤1．若$\overrightarrow{{c} {� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．已知向量$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2，定义：$\overrightarrow{{c}_{λ}}$=λ$\overrightarrow{a}$+（1-λ ）$\overrightarrow{b}$，其中0≤λ≤1．若$\overrightarrow{{c}_{λ}}$•$\overrightarrow{{c}_{\frac{1}{2}}}$=$\frac{1}{2}$，则|$\overrightarrow{{c}_{λ}}$|的最大值为（　　）

A．

$\frac{1}{2}$

B．

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

C．

D．

$\sqrt{2}$

分析画出草图，通过$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$、|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2可得|$\overrightarrow{{c}_{\frac{1}{2}}}$|=1，利用$\overrightarrow{{c}_{λ}}$=λ$\overrightarrow{a}$+（1-λ ）$\overrightarrow{b}$可得B、P、D、C四点共线，结合$\frac{1}{2}$=|$\overrightarrow{{c}_{λ}}$|cosα，可得当B、P两点重合时|$\overrightarrow{{c}_{λ}}$|最大，计算即可．

解答解：如图，记$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{{c}_{\frac{1}{2}}}$，$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{{c}_{λ}}$，＜$\overrightarrow{{c}_{\frac{1}{2}}}$，$\overrightarrow{{c}_{λ}}$＞=α．
∵$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{b}$，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|=2，∴|$\overrightarrow{{c}_{\frac{1}{2}}}$|=1，
∵$\overrightarrow{{c}_{λ}}$=λ$\overrightarrow{a}$+（1-λ ）$\overrightarrow{b}$，
∴B、P、D、C四点共线，
∵$\frac{1}{2}$=$\overrightarrow{{c}_{λ}}$•$\overrightarrow{{c}_{\frac{1}{2}}}$=|$\overrightarrow{{c}_{λ}}$|•|$\overrightarrow{{c}_{\frac{1}{2}}}$|cosα=1•|$\overrightarrow{{c}_{λ}}$|cosα，
∴$\overrightarrow{{c}_{λ}}$在$\overrightarrow{{c}_{\frac{1}{2}}}$上的投影为$\frac{1}{2}$，
∴当B、P两点重合时，|$\overrightarrow{{c}_{λ}}$|最大，
此时α=$\frac{π}{3}$，|$\overrightarrow{{c}_{λ}}$|=|$\overrightarrow{{c}_{\frac{1}{2}}}$|=1，
故选：C．