Question

（2012•北京模拟）（1）下面图形由单位正方形组成，请观察图1至图4的规律，并依此规律，在横线上方处画出下一个适当的图形；

（2）图中的三角形称为希尔宾斯基三角形，在如图所示的四个三角形中，着色三角形的个数依次构成数列的前四项，依此着色方案继续对三角形着色，求着色三角形的个数的通项公式b_n

（3）依照（1）中规律，继续用单位正方形绘图，记每个图形中单位正方形的个数为a_n（n=1，2，3，…），设cn=

2anbn

n+1

，求数列{c_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）由前三个图形小正方形的排列规律，不难得出第四个图形有四层，从上至下分别为1个、2个、3个、4个小正方形．
（2）由图形从左向右数着色的三角形的个数，发现后一个图形中的着色三角形个数是前一个的3倍，所以{b_n}构成以1为首项，公比为3的等比数列，由此不难得到{b_n}的通项公式；
（3）根据（1）和（2）的结论，易得cn=n•3n-1，发现{c_n}是一个等差数列和等数列的对应项相乘而得的一个新数列，接下来可用错位相减法，来求它的前n项和S_n．

解答：解：（1）在第一个图形中，只有一层，一个小正方形；
在第二个图形中，有两层，从上至下分别为1个、2个小正方形；
在第三个图形中，有三层，从上至下分别为1个、2个、3个小正方形；
由此归纳：第四个图形中，有四层，从上至下分别为1个、2个、3个、4个小正方形．
因此答案如右图所示：
（2）由图形从左向右数着色的三角形的个数，发现后一个图形中的着色三角形个数是前一个的3倍，
所以，所以{b_n}构成以1为首项，公比为3的等比数列，由此不难得到{b_n}的通项公式，
∴由等比数列的通项公式，可得着色三角形的个数的通项公式为：bn=3n-1．
（3）由题意，可得a_n=1+2+3+4+…+n=

n(n+1)

2

，
∴cn=

2× n(n+1) 2 ×3n-1

n+1

=n•3n-1，
所以 Sn=1•30+2•31+…+n•3n-1．①
所以 3Sn=1•31+2•32+…+(n-1)•3n-1+n•3n．②
①-②得 -2Sn=(30+31+…+3n-1)-n•3n．
所以-2S_n=

1-3n

1-3

-n•3n．
即Sn=

(2n-1)•3n+1

4

，其中n∈N₊

点评：本题以数列的通项与求和为载体，着重考查了归纳推理的一般方法，考查了学生的读图能力，属于中档题．