Question

设函数f(x)≥0，且对任意实数x、y，有f(x+y)=f(x)+f(y)+2，求证：f(nx)=n²f(x)。

 

Answer 1

答案：
解析：

(1)当n=1时，命题显然成立： (2)设n=k(k∈N)时命题成立，即f(kx)=k2f(x)， 则当n=k+1时，由f(x)≥0， f[(k+1)x]=f(kx+x)=f(kx)+f(x)+2 =k2f(x)+f(x)+2=k2f(x)+f(x)+2kf(x) =(k+1)2f(x)。     ∴n=k+1时命题也成立。     由(1)、(2)可知，时一切n∈N，f(nx)=n2f(x)成立。