Question

已知函数f（x）=x²-2ax+5（a＞1）．
（1）若函数f（x）的定义域和值域均为[1，a]，求实数a的值；
（2）若f（x）在区间（-∞，2]上是减函数，且对任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，总有|f（x₁）-f（x₂）|≤4，求实数a的取值范围；
（3）若f（x）在x∈[1，3]上有零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据一元二次函数f（x）=x²-2ax+5（a＞1）的对称轴x=a与区间[1，a]再结合一元二次函数的单调性即可求出值域．
（2）由于要使对任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，总有|f（x₁）-f（x₂）|≤4则必有[f（x）]_max-[f（x）]_min≤4即因此需求出函数在[1，a+1]上的最大最小值．
（3）根据函数零点与方程的关系可得f（x）在x∈[1，3]上有零点即f（x）=0在x∈[1，3]上有实数解也即2a=

x2+5

x

=x+

5

x

在x∈[1，3]上有实数解则问题转化为求函数g（x）=x+

5

x

的值域．

解答：解：（1）∵函数f（x）=x²-2ax+5（a＞1）的对称轴为x=a∈[1，a]
∴函数f（x）=x²-2ax+5（a＞1）在[1，a]上单调递减
∵函数f（x）的定义域和值域均为[1，a]
∴a=f（1）
∴a=2
（2）∵f（x）在区间（-∞，2]上是减函数
∴a≥2
∴函数f（x）=x²-2ax+5（a＞1）在[1，a]上单调递减，[a，a+1]上单调递增
∵f（1）≥f（a+1）
∴[f（x）]_max=f（1），[f（x）]_min=f（a）
∵对任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，总有|f（x₁）-f（x₂）|≤[f（x）]_max-[f（x）]_min
∴要使对任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，总有|f（x₁）-f（x₂）|≤4则必有[f（x）]_max-[f（x）]_min≤4即可
∴f（1）-f（a）≤4
∴a²-2a+1≤4
∴-1≤a≤3
∵a≥2
∴2≤a≤3
（3）∵f（x）在x∈[1，3]上有零点
∴f（x）=0在x∈[1，3]上有实数解
∴2a=

x2+5

x

=x+

5

x

在x∈[1，3]上有实数解
令g（x）=x+

5

x

则g（x）在[1，

5

]单调递减，在（

5

，3]单调递增且g（1）=6，g（3）=

14

3

∴2

5

≤g（x）≤6
∴2

5

≤2a≤6
∴

5

≤a≤3

点评：本题主要考察函数零点与方程根的关系以及利用函数的单调性求函数的值域．解题的关键是虽然（1）（2）都可转化为求函数的最值但第二问首先需分析出对任意的x₁，x₂∈[1，a+1]，总有|f（x₁）-f（x₂）|≤[f（x）]_max-[f（x）]_min
而对于第三问关于求参数的取值范围的类型长采用反解的方式即用未知数表示参数然后转化为求函数在指定范围内的值域问题！