Question

设函数f（x）=x-

1

x

，若对任意x∈[

2

，+∞)，f（mx）+mf（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围是

(-∞，-

3

3

)

．

Answer 1

分析：对任意x∈[

2

，+∞)，f（mx）+mf（x）＜0恒成立，即mx-

1

mx

+mx-

m

x

＜0，化为2mx²＜m+

1

m

恒成立．通过对m分类讨论，利用二次函数的单调性即可得出．

解答：解：对任意x∈[

2

，+∞)，f（mx）+mf（x）＜0恒成立，即mx-

1

mx

+mx-

m

x

＜0，化为2mx²＜m+

1

m

恒成立．
显然m≠0．
①若m＞0，化为2x2＜1+

1

m2

，对于某个m的值，此式不可能对于任意x∈[

2

，+∞)恒成立，因此m＞0不成立；
②若m＜0，化为2x2＞1+

1

m2

在区间x∈[

2

，+∞)上恒成立，等价于1+

1

m2

＜(2x2)min，x∈[

2

，+∞)．
∵当x∈[

2

，+∞)时，（2x²）_min=2×(

2

)2=4，∴1+

1

m2

＜4，化为m2＞

1

3

，又m＜0，解得m＜-

3

3

．
综上可知：实数m的取值范围是(-∞，-

3

3

)．
故答案为(-∞，-

3

3

)．

点评：本题考查了分类讨论的思想方法、二次函数的单调性、一元二次不等式的解法等基础知识与基本技能，属于中档题．