Question

已知函数 y=f （x） 的定义域为 R，其导数 f′（x） 满足 0＜f′（x）＜1，常数 α 为方程 f （x）=x的实数根．
（1）求证：当 x＞α 时，总有 x＞f （x） 成立；
（2）对任意 x₁、x₂若满足|x₁-α|＜1，|x₂-α|＜1，求证：|f （x₁）-f （x₂）|＜2．

Answer 1

分析：（1）构造函数g（x）=x-f（x），我们可以利用导数法判断出函数g（x）的单调性，进而得到当x＞a时，总有f（x）＜x成立；
（2）由|x₁-α|＜1，|x₂-α|＜1，可得α-1＜x₁＜α+1，α-1＜x₂＜α+1，利用f′（x）的范围可判断f （x） 在 R 上是增函数，根据f（x）的单调性及（1）问的结论即可得证．

解答：（1）证明：令 g（x）=x-f （x），则 g′（x）=1-f′（x），
∵0＜f′（x）＜1，∴g′（x）=1-f′（x）＞0，
∴函数 g（x）=x-f （x）为R上的增函数，
∴当 x＞α时 g（x）=x-f （x）＞g（α）=α-f （α）=0，
∴当 x＞α时，总有 x＞f （x） 成立；
（2）证明：∵|x₁-α|＜1，|x₂-α|＜1，
∴α-1＜x₁＜α+1，α-1＜x₂＜α+1，
 又 0＜f′（x）＜1，
∴f （x） 在 R 上是增函数，
∴f （α-1）＜f （x₁）＜f （α+1），f （α-1）＜f （x₂）＜f （α+1），
∴f （α-1）-f （α+1）＜f （x₁）-f （x₂）＜f （α+1）-f （α-1），
∴|f （x₁）-f （x₂）|＜f （α+1）-f （α-1），
由 （1）知：f （α+1）＜α+1；-f （α-1）＜-（α-1），
∴|f （x₁）-f （x₂）|＜f （α+1）-f （α-1）＜2，
∴|f （x₁）-f （x₂）|＜2．

点评：本题考查的知识点是函数与方程的综合运用，其中利用导数法判断函数f（x）的单调性及g（x）=x-f（x）的单调性是解答本题的关键．