Question

已知函数 f（x）在区间（a，b）内单调，且f（a）f（b）＜0，则方程f（x）=0在区间（a，b）内

1. A.
   至少有一实根
2. B.
   至多有一实根
3. C.
   必有唯一实根
4. D.
   没有实根

Answer 1

B
分析：由函数的单调性，我们易得函数的图象与直线y=a至多有一个交点，若函数 f（x）在区间[a，b]内单调，再根据零点存在定理，我们易得到函数f（x）在区间[a，b]上有且只有一个零点，再根据函数零点与对应方程根的个数关系，我们即可得到结论，而函数 f（x）在区间[a，b]的两个端点处不一定连续，也可能没有零点．
解答：∵f（a）f（b）＜0
∴函数在区间[a，b]上至少有一个零点
若函数f（x）在区间[a，b]上单调
∴函数f（x）在区间[a，b]上至多有一个零点
故函数f（x）在区间[a，b]上有且只有一个零点
即方程f（x）=0在区间[a，b]内必有唯一的实根
若函数 f（x）在区间[a，b]的两个端点处不连续，也可能没有零点．
故选B．
点评：本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，其中利用函数零点个数与对应方程根的个数相等，将问题转化一个求函数零点个数问题是解答本题的关键．