题目内容
已知向量
=（sina，cosa），
=（6sina+cosa，7sina-2cosa），设函数f（a）=
•
．（1）求函数f（a）的最大值；
（2）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，f（A）=6，且△ABC的面积为3，b+c=2+3
，求a的值．
【答案】分析：（1）根据向量点乘运算表示出f（a）=
=4
sin（2a-
）+2，再由三角函数的最值求出函数f（a）的最大值．
（2）根据（1）中函数f（a）的解析式表示出f（A）=4
sin（2A-
）+2=6，可得sin（2A-
）=
，再根据角A的范围确定A=
由三角形ABC的面积可求出b乘以c的值，最后根据余弦定理可得答案．
解答：解：（Ⅰ）f（a）=
=sina（6sina+cosa）+cosa（7sina-2cosa）
=6sin2a-2cos2a+8sinacosa=4（1-cos2a）+4sin2a-2
=4
sin（2a-
）+2
∴
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（A）=4
sin（2A-
）+2=6，sin（2A-
）=
因为 0＜A＜
，所以
所以：2A-
=
，A=
∵S△ABC=
bcsinA=
bc=3
∴bc=6
，又b+c=2+3
∴a2=b2+c2-2bccosA=
=
=10
∴a=
点评：本题主要考查平面向量的坐标运算和三角函数里的正余弦定理．这里要熟练掌握正余弦定理的基本内容．
=4
sin（2a-
）+2，再由三角函数的最值求出函数f（a）的最大值．（2）根据（1）中函数f（a）的解析式表示出f（A）=4
sin（2A-
）+2=6，可得sin（2A-
）=
，再根据角A的范围确定A=
由三角形ABC的面积可求出b乘以c的值，最后根据余弦定理可得答案．解答：解：（Ⅰ）f（a）=
=sina（6sina+cosa）+cosa（7sina-2cosa）=6sin2a-2cos2a+8sinacosa=4（1-cos2a）+4sin2a-2
=4
sin（2a-
）+2∴
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（A）=4
sin（2A-
）+2=6，sin（2A-
）=
因为 0＜A＜
，所以
所以：2A-
=
，A=
∵S△ABC=
bcsinA=
bc=3∴bc=6
，又b+c=2+3
∴a2=b2+c2-2bccosA=
=
=10∴a=
点评：本题主要考查平面向量的坐标运算和三角函数里的正余弦定理．这里要熟练掌握正余弦定理的基本内容．
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