Question

已知函数f（x）=

x

1+x

（x＞0），设f（x）在点（n，f（n））（n∈N*）处的切线在y轴上的截距为b_n，数列{a_n}满足：a₁=

1

2

，an+1=f(an)(n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）在数列{

bn

a 2 n

+

λ

an

}中，仅当n=5时，

bn

a 2 n

+

λ

an

取最小值，求λ的取值范围；
（Ⅲ）令函数g（x）=f（x）（1+x）²，数列{c_n}满足：c₁=

1

2

，c_n+1=g（c_n）（n∈N*），求证：对于一切n≥2的正整数，都满足：1＜

1

1+c1

+

1

1+c2

+…+

1

1+cn

＜2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由f(x)=

x

1+x

(x＞0)．和an+1=f(an)=

an

1+an

，可得到

1

an+1

=

1

an

+1最后由等差数列的定义求解即可．
（Ⅱ）通过求导得到切线的斜率，从而求得切线的方程，y-f(n)=

1

(1+n)2

(x-n)，令x=0，可得bn=

n

1+n

-

n

(1+n)2

=

n2

(1+n)2

．化简

bn

an2

+

λ

an

=n2+λ(n+1)=(n+

λ

2

)2+λ-

λ2

4

由二次函数法求解即可．
（Ⅲ）结合（I）得g（x）=f（x）（1+x）²=x（1+x），所以c_n+1=g（c_n）=c_n（1+c_n），两边取倒数可得

1

1+cn

=

1

cn

-

1

cn+1

．再由错位相消法化简问题论证即可．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=

x

1+x

(x＞0)．则an+1=f(an)=

an

1+an

，得

1

an+1

=

1

an

+1，即

1

an+1

-

1

an

=1，
∴数列{

1

an

}是以2为首项、1为公差的等差数列，
故an=

1

n+1

．（4分）
（Ⅱ）又∵[f(x)]′=

1

(1+x)2

，
∴函数f（x）在点（n，f（n））（n∈N*）处的切线方程为：y-f(n)=

1

(1+n)2

(x-n)，
令x=0，得bn=

n

1+n

-

n

(1+n)2

=

n2

(1+n)2

．
∴

bn

an2

+

λ

an

=n2+λ(n+1)=(n+

λ

2

)2+λ-

λ2

4

，仅当n=5时取得最小值，
只需4.5＜-

λ

2

＜5.5，解得-11＜λ＜-9．
故λ的取值范围为（-11，-9）．（9分）
（Ⅲ）∵g（x）=f（x）（1+x）²=x（1+x），故c_n+1=g（c_n）=c_n（1+c_n），
又∵c1=

1

2

＞0，故c_n＞0，则

1

cn+1

=

1

cn(1+cn)

=

1

cn

-

1

1+cn

，
即

1

1+cn

=

1

cn

-

1

cn+1

．（11分）
∴

1

1+c1

+

1

1+c2

++

1

1+cn

=(

1

c1

-

1

c2

)+(

1

c2

-

1

c3

)++(

1

cn

-

1

cn+1

)
=

1

c1

-

1

cn+1

=2-

1

cn+1

＜2．
又

1

1+c1

+

1

1+c2

++

1

1+cn

≥

1

1+c1

+

1

1+c2

=

1

1+ 1 2

+

1

1+ 3 4

=

2

3

+

4

7

=

26

21

＞1，
故1＜

1

1+c1

+

1

1+c2

++

1

1+cn

＜2．（14分）

点评：本题是函数、数列、不等式、导数等的大型综合题，情景新颖，具有较好的区分度，要求学生具有一定的审题、读题能力，一定的等价变形能力，是一种比较常见的题型，尤其数列不等式采用导数工具来处理的新题不可小视．