Question

设集合W是满足下列两个条件的无穷数列{a_n}的集合：①②a_n≤M，其中n∈N^*，M是与n无关的常数
（1）若{a_n}是等差数列，S_n是其前n项的和，a₃=4，S₃=18，试探究{S_n}与集合W之间的关系；
（2）设数列{b_n}的通项为b_n=5n-2ⁿ，且{b_n}∈W，M的最小值为m，求m的值；
（3）在（2）的条件下，设，求证：数列{C_n}中任意不同的三项都不能成为等比数列．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用新定义，验证，S_n≤20，即可得到结论；
（2）由b_n+1-b_n=5-2ⁿ 可知{b_n}中最大项是b₃=7，从而可得m的值；
（3）利用反证法．假设{C_n}中存在三项b_p、b_q、b_r（p、q、r互不相等）成等比数列，则b_q²=b_p•b_r，由此可得p=r与p≠r矛盾，从而得证．
解答：（1）解：设数列的首项为a₁，公差为d，则，∴a₁=8，d=-2
∴S_n=-n²+9n，∴+（n+1）²-9（n+1）=-1＜0
∴满足①
∵，
∴当n=4或5时，S_n取最大值20
∴S_n≤20满足②，∴{S_n}∈W          …（4分）
（2）解：∵b_n+1-b_n=5-2ⁿ 
∴由5-2ⁿ＞0可知n≤2，5-2ⁿ＜0可知n≥3
而b₂=6，b₃=7，
∴{b_n}中最大项是b₃=7
∴M≥7   
∴M的最小值为7   
∴m=7           …（8分）
（3）证明：，假设{C_n}中存在三项b_p、b_q、b_r（p、q、r互不相等）成等比数列，则b_q²=b_p•b_r
∴
∴
∵p、q、r∈N^*   
∴
∴p=r与p≠r矛盾
∴{C_n}中任意不同的三项都不能成为等比数列   …（12分）
点评：本题考查新定义，考查反证法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．