Question

已知存在实数ω，φ（其中ω≠0，ω∈Z）使得函数f（x）=2cos（ωx+φ）是奇函数，且在（0，）上是增函数．
（1）试用观察法猜出两组ω与φ的值，并验证其符合题意；
（2）求出所有符合题意的ω与φ的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由题意使得函数f（x）=2cos（ωx+φ）是奇函数，且在（0，）上是增函数．猜想或；然后验证即可．
（2）由f（x）为奇函数，解得当k=2n（n∈Z）时，为奇函数，由于f（x）在上是增函数，所以ω＜0，推出ω=-1或-2，． 当k=2n+1（n∈Z）时，为奇函数，由于f（x）在上是增函数，所以ω＞0，推出ω=1或2，故
解答：解：（1）猜想：或；（4）分
由知，而f（x）=2sinx为奇函数且在上是增函数． （6分）
由知，而f（x）=2sin2x为奇函数且在上是增函数． （8分）

（2）由f（x）为奇函数，有f（-x）=-f（x）
∴2cos（-ωx+φ）=-2cos（ωx+φ）
所以2cosωx•cosφ=0，
又x∈R，∴cosωφ≠0，∴cosφ=0，
解得ϕ=kπ+，k∈Z． （10分）
当k=2n（n∈Z）时，为奇函数，
由于f（x）在上是增函数，
所以ω＜0，由-，
又f（x）在上是增函数，故有，-2≤ω＜0，且ω=Z，
∴ω=-1或-2，故． （12分）
当k=2n+1（n∈Z）时，为奇函数，
由于f（x）在上是增函数，
所以ω＞0，由-，
又f（x）在上是增函数，故有，0＜ω≤2，且ω=Z，
∴ω=1或2，故（14分）
所以所有符合题意的ω与φ的值为：
或（16分）
点评：本题是中档题，考查三角函数的基本性质，函数的单调性，奇偶性，逻辑推理能力，考查计算能力，有一定的难度．