Question

已知函数f（x）=（ax²+bx+c）•e^x，其中e为自然对数的底，a，b，c为常数，若函数．
（I）求实数b、c的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】分析：（I）对函数求导，根据函数的极值，写出函数的导数在2的结果是0，根据极限的值写出关系式，得到b，c的值．
（II）函数f（x）在区间[1，2]上是增函数，得到ax²+2（a+1）x+4≥0在x∈[1，2]时恒成立，转化为函数的恒成立问题，分离参数，求函数的最值，只要大于最大值就可以．
解答：解：（I）f'（x）=（2ax+b）e^x+（ax²+bx+c）e^x=[ax²+（b+2a）x+b+c]e^x
由f'（-2）=0
4a-2（b+2a）+b+c=0
b=c，
由，
所以b=2，c=2；  
（II）由题意知道ax²+2（a+1）x+4≥0在x∈[1，2]时恒成立，
即时恒成立，设，
则，
所以a≥-1．
点评：本题看出函数在某一个点取得极值的条件，本题解题的关键是写出函数的恒成立的等价条件，对函数进行变形，即分离参数．