Question

已知向量

β

=

.

3 1

.

，变换T的矩阵为A=

.

1 b c 1

.

，平面上的点P（1，1）在变换T作用下得到点P′（3，3），求A⁴

β

．

Answer 1

分析：先利用待定系数法建立一个二元一次方程组，解方程组即可得出变换T的矩阵，再根据特征值的定义列出特征多项式 f（λ），令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程组即可解得相应的特征向量，最后

β

利用特征向量的性质计算，先利用特征向量表示向量

β

，后将求 A⁴

β

的值的问题转化成求有关特征向量的计算问题．

解答：解：则有

1 b c 1

1 1

=

3 3

，
所以

1+b=3 c+1=3

，
解得

b=2 c=2

，所以T=

1 2 2 1

，
矩阵T的特征多项式为 f（λ）=

.

λ-1 2 2 λ-1

.

=λ²-2λ-1，
令f（λ）=0，得λ₁=-1，λ₂=3，
当λ₁=-1时，得 

α1

=

1 1

，当λ₂=3时，得

α2

=

1 -1

．（7分）
由 

β

=m

α1

+n

α2

得 

m+n=3 m-n=1

，得m=2，n=1．
∴A⁴

β

=2λ

4 1

α1

+λ

4 2

α2

=

163 161

（15分）

点评：本题主要考查了特征值与特征向量的计算以及利用特征向量求向量乘方的问题，属于向量中的基础题．