Question

已知函数f（x）=ax³+bx在x=3时取得极值-54
（Ⅰ）求a，b的值
（Ⅱ）求曲线y=f（x）与x轴围成图形的面积．

Answer 1

（Ⅰ）∵f′（x）=3ax²+b，x∈R，由函数x=3时取得极值-54可知f′（3）=0且f（3）=-54，
即

27a+b=0 27a+3b=-54

，解得a=1，b=-27；
（Ⅱ）∵f（x）=x³-27x，由f（x）=x³-27x=0可知x1=0，x2=-3

3

，x3=3

3

又∵f（-x）=-x³+27x=-f（x），所以f（x）为奇函数，图象关于原点对称，
∴曲线y=f（x）与x轴围成图形的面积为A=2

∫

0-3 3

(x3-27x)dx=2(

1

4

x4-

27

2

x2)

|

0-3 3

=

729

2

．