Question

【题目】已知函数 ，

（1）若曲线在点处的切线为，求的值；

（2）讨论函数的单调性；

（3）设函数，若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范．

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时，增区间为；当时，增区间为，，减区间为；当时，增区间为，，减区间为；（3）．

【解析】

试题分析：（1）首先求得的定义域及导函数，然后利用导数的几何意义求解即可；（2）分、、讨论的导函数与0的关系，由此求得函数的单调区间；（3）首先根据条件将问题转化为有解，然后令，从而通过求导得到函数的单调性，并求得其最小值，进而求得实数的取值范．

试题解析：（1）的定义域为，，

∴，，

解得，∴．

（2），

当时，，∴的单调增区间为

当时，由，

∴的单调增区间为，

由，∴的单调减区间为.

当时，由，∴的单调减区间为，

由，∴的单调减区间为.

综上所述：当时， ，∴的单调增区间为，

当时，∴的单调增区间为，，的单调减区间为

当时，∴的单调增区间为，，的单调减区间为.

（3）若至少存在一个，使得，∴，

当时，，∴有解，令，

∴

，∴在上单调递减，

∴得，．