Question

（2006•宝山区二模）已知S_n是各项均为正数的递减等比数列{a_n}的前n项之和，且a2=

1

2

，S3=

7

4

．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设y=f（x）是偶函数，当x≤0时，f（x）=log₂（x+1），求f（x）的定义域D及其解析式；
（3）对任意正整数n和（2）中的f（x），若不等式f（x）+a_n＜0恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）设公比为q，由题意可列方程组，解出后根据等比数列通项公式可求得a_n；
（2）由x≤0时，x+1＞0，可得x的范围，再根据偶函数定义域的对称性特点可求得D；
（3）由{a_n}是递减数列可求得数列最大项a₁=1，因而，若f（x）+a_n＜0恒成立，则有f（x）+1＜0恒成立，分x≤0，x＞0两种情况进行讨论可求得x的范围．

解答：解：（1）设公比为q，
由题意得，

a1q= 1 2 a1(1-q3) 1-q = 7 4

，

a1=1 q= 1 2

或

a1= 1 4 q=2

（舍），
∴an=(

1

2

)n-1；
（2）由题意，当x≤0时，x+1＞0，即x＞-1，
又因为y=f（x）是偶函数，
所以D=（-1，1），
当0＜x＜1时，-1＜-x＜0，则f（-x）=log₂（1-x），
又f（x）为偶函数，所以f（x）=f（-x）=log₂（1-x），
∴f(x)=

log2(1-x)，0＜x＜1 log2(1+x)，-1＜x≤0

；
（3）由（1）知{a_n}是递减数列，最大项为a₁=1，
因而，若f（x）+a_n＜0恒成立，则有f（x）+1＜0恒成立．
①当x≤0时，由log₂（x+1）+1＜0，解得-1＜x＜-

1

2

；
②当x＞0时，由log₂（1-x）+1＜0，解得

1

2

＜x＜1；
综上，当x∈(-1，-

1

2

)∪(

1

2

，1)时，f（x）+a_n＜0恒成立．

点评：本题考查数列与函数、数列与不等式、等比数列的通项公式等知识，考查转化思想，考查学生解决问题的能力．