Question

如图，PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2，又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．
（1）求证：平面PAC⊥平面ABC；
（2）求二面角M-AC-B的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）通过证明PC⊥平面ABC，证明平面PAC⊥平面ABC；
（2）解法一：（几何法）取BC的中点N，则CN=1，连接AN，MN，说明∠MHN为二面角M-AC-B的平面角，解三角形求二面角M-AC-B的大小；
解法二：（向量法）在平面ABC内，过C作CD⊥CB，建立空间直角坐标系C-xyz，求出平面MAC的一个法向量为，平面ABC的法向量取为，利用，解答即可．
解答：证明：（1）∵PC⊥AB，PC⊥BC，AB∩BC=B
∴PC⊥平面ABC，…（2分）
又∵PC?平面PAC
∴平面PAC⊥平面ABC…（5分）
（2）解法一：（几何法）
取BC的中点N，则CN=1，连接AN，MN，
∵PM∥CN，PM=CN
∴MN∥PC，MN=PC，
从而MN⊥平面ABC
作NH⊥AC，交AC的延长线于H，连接MH，则由三垂线定理知，AC⊥NH，
从而∠MHN为二面角M-AC-B的平面角
直线AM与直线PC所成的角为60
∴∠AMN=60°
在△ACN中，由余弦定理得AN==；
在△AMN中，MN=AN•cot∠AMN=×=1；
在△CNH中，NH=CN•sin∠NCH=1×=；
在△MNH中，MN=tan∠MHN===；
则cos∠MHN==
解法二：（向量法）
在平面ABC内，过C作CD⊥CB，建立空间直角坐标系C-xyz（如图）…（6分）
由题意有，设P（0，0，z）（z＞0），
则
由直线AM与直线PC所成的解为60，得，即，
解得z=1…（8分）
∴，
设平面MAC的一个法向量为，
则，
取x₁=1，得…（9分）
平面ABC的法向量取为…（10分）
设与所成的角为θ，则…（11分）
显然，二面角M-AC-B的平面角为锐角，
故二面角M-AC-B的平面角的余弦值为…（12分）
点评：本题主要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角等有关知识，考查思维能力和空间想象能力、应用向量知识解决数学问题的能力、化归转化能力和推理运算能力．