Question

经市场调查，某旅游城市在过去的一个月内（以30天计），日旅游人数f（t）（万人）与时间t（天）的函数关系近似满足f(t)=4+

1

t

，人均消费g（t）（元）与时间t（天）的函数关系近似满足g（t）=115-|t-15|．
（Ⅰ）求该城市的旅游日收益w（t）（万元）与时间t（1≤t≤30，t∈N）的函数关系式；
（Ⅱ）求该城市旅游日收益的最小值（万元）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据该城市的旅游日收益=日旅游人数×人均消费的钱数得w（t）与t的解析式；
（Ⅱ）因为w（t）中有一个绝对值，讨论t的取值，1≤t＜15和15≤t≤30两种情况化简得w（t）为分段函数，第一段运用基本不等式求出最值，第二段是一个递减的一次函数求出最值比较即可．

解答：解：（Ⅰ）由题意得，w(t)=

(4+ 1 t )(t+100)，(1≤t＜15，t∈N*) (4+ 1 t )(130-t)，(15≤t≤30，t∈N*)

；
（Ⅱ）因为w(t)=

(4+ 1 t )(t+100)，(1≤t＜15，t∈N*) (4+ 1 t )(130-t)，(15≤t≤30，t∈N*)

；
①当1≤t＜15时，w(t)=(4+

1

t

)(t+100)=4(t+

25

t

)+401≥4×2

25

+401=441
当且仅当t=

25

t

，即t=5时取等号
②当15≤t≤30时，w(t)=(4+

1

t

)(130-t)=519+(

130

t

-4t)，
可证w（t）在t∈[15，30]上单调递减，
所以当t=30时，w（t）取最小值为403

1

3

由于403

1

3

＜441，所以该城市旅游日收益的最小值为403

1

3

万元．

点评：考查学生根据实际情况选择函数类型的能力，以及基本不等式在求函数最值中的应用能力．