Question

【题目】对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同而构造等式，这种方法称为“算两次”的思想方法.利用这种方法，结合二项式定理，可以得到很多有趣的组合恒等式.

（1）根据恒等式两边的系数相同直接写出一个恒等式，其中；

（2）设，利用上述恒等式证明：.

Answer 1

【答案】（1），其中；（2）证明见解析.

【解析】

（1）利用二项式定理系数的性质，左右两边分别表示出的系数即可.

（2）证明左边等于右边，用上，，，（1）的结果以及逐步推证即可.

解：（1），

等式左边的系数为，

右边的系数这样产生：

中的1与中的的系数的的积，即，

中的系数与中的系数的的积，即，

中的系数与中的系数的的积，即，

中的系数与中的系数的的积，即，

中的系数与中的系数的的积，即，

所以.

（2）当，且时，，

由（1）得

左边=，

，

，

，

右边，

所以.