Question

（本题16分）抛物线的准线的方程为，该抛物线上的每个点到准线的距离都与到定点N的距离相等，圆N是以N为圆心，同时与直线 相切的圆，

（Ⅰ）求定点N的坐标；

（Ⅱ）是否存在一条直线同时满足下列条件：

① 分别与直线交于A、B两点，且AB中点为；

② 被圆N截得的弦长为．

Answer 1

解：（1）因为抛物线的准线的方程为

所以，根据抛物线的定义可知点N是抛物线的焦点，            

所以定点N的坐标为                            

（2）假设存在直线满足两个条件，显然斜率存在，                

设的方程为，                

以N为圆心，同时与直线 相切的圆N的半径为，

方法1：因为被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，  

即，解得，                -

当时，显然不合AB中点为的条件，矛盾！           

当时，的方程为               -

由，解得点A坐标为，              

由，解得点B坐标为，        

显然AB中点不是，矛盾！              

所以不存在满足条件的直线．                

方法2：由，解得点A坐标为，    

由，解得点B坐标为，       

因为AB中点为，所以，解得，   

所以的方程为，

圆心N到直线的距离，                   

因为被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，矛盾！

所以不存在满足条件的直线．              

方法3：假设A点的坐标为，

因为AB中点为，所以B点的坐标为，      

又点B 在直线上，所以，               

所以A点的坐标为，直线的斜率为4，

所以的方程为，                   

圆心N到直线的距离，                    

因为被圆N截得的弦长为2，所以圆心到直线的距离等于1，矛盾！ -

所以不存在满足条件的直线．              -