Question

（2011•徐州模拟）已知函数f（x）=sin²（x-

π

6

）+cos²（x-

π

3

）+sinx•cosx，x∈R．
（1）求f（x）的最大值及取得最大值时的x的值；
（2）求f（x）在[0，π]上的单调增区间．

Answer 1

分析：（1）先由两角差的正弦（余弦）公式，倍角公式化简解析式，再由正弦函数的最大值求出函数的最大值 以及对应的自变量的值；
（2）由x的范围求出“2x-

π

4

”的范围，再由正弦函数的单调性求出函数的增区间．

解答：解：（1）由题意得，
f（x）=(sinxcos

π

6

-cosxsin

π

6

)2+(cosxcos

π

3

+sinxsin

π

3

)2+sinx•cosx
=sin²x+sinx•cosx+

1

2

=

1

2

(sin2x-cos2x)+1
=

2

2

sin(2x-

π

4

)+1，
当2x-

π

4

=

π

2

+2kπ（k∈Z），
即x=

3π

8

+kπ（k∈Z）时，函数f（x）取最大值为：

2

2

+1，
（2）由0≤x≤π得，-

π

4

≤2x-

π

4

≤

7π

4

，
∴函数f（x）=

2

2

sin(2x-

π

4

)+1的增区间是：[-

π

4

，

π

2

]．

点评：本题考查了正弦函数的性质，以及三角恒等变换中的公式在化简解析式时应用，属于中档题．