Question

已知函数：f（x）=alnx-ax-3（a∈R），
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若函数y=f（x）的图像在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，问：m在什么范围取值时，函数g（x）=x³+x²[+f′（x）]在区间（2，3）上总存在极值？
（3）求证：。

Answer 1

解：（1），
当a＞0时，f（x）的单调增区间为，减区间为；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为，减区间为；
当a=0时，f（x）不是单调函数；
（2）因为函数y=f（x）的图像在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，
所以f′（2）=1，
所以a=-2，，
，
，
要使函数在区间（2，3）上总存在极值，
所以只需，
解得；
（3）令a=-1，此时f（x）=-lnx+x-3，
所以f（1）=-2，
由（1）知f（x）=-lnx+x-3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时，f（x）＞f（1），
即-lnx+x-1＞0，
∴lnx＜x-1对一切x∈（1，+∞）成立，
∵n≥2，n∈N*，
则有0＜lnn＜n-1，
∴，
∴。