Question

已知数列{a_n}，（n∈N）满足a₁=1，且对任意非负整数m，n（m≥n）均有：a_m+n+a_m-n+m-n-1=

1

2

(a2m+a2n)．
（1）求a₀，a₂；
（2）求证：数列{a_m+1-a_m}（m∈N^*）是等差数列，并求a_n（n∈N^*）的通项；
（3）令c_n=a_n+3n-1（n∈N^*），求证：

n

k=1

1

ck

＜

3

4

．

Answer 1

分析：（1）令m=n，得a₀；令n=0，得a_2m，从而可求a₂；
（2）令n=1，可得a_m+1-a_m=a_m-a_m-1+2，从而数列{a_m+1-a_m}是以2为首项，2为公差的等差数列，利用叠加法可求a_n（n∈N^*）的通项；
（3）确定数列的通项，利用裂项法求和，即可得出结论．

解答：（1）解：令m=n，得a₀=1，…（1分）
令n=0，得a_2m=4a_m+2m-3，∴a₂=3；…（3分）
（2）证明：令n=1，得：am+1+am-1+m-2=

1

2

(a2m+a2)=2am+m，
∴a_m+1-a_m=a_m-a_m-1+2，
又a₂-a₁=2，
∴数列{a_m+1-a_m}是以2为首项，2为公差的等差数列．
∴am+1-am=2m(m∈N*)．
∴am=a1+

m-1

k=1

(ak+1-ak)=m(m-1)+1(m∈N*)．
∴an=n(n-1)+1(n∈N*)；…（9分）
（3）证明：∵cn=an+3n-1=n2+2n(n∈N*)，
∴

1

cn

=

1

n(n+2)

，
∴

n

k=1

1

ck

=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+2

)=

3

4

-

1

2(n+1)

-

1

2(n+2)

＜

3

4

．…（13分）

点评：本题考查数列的通项与求和，考查等差数列的证明，考查裂项法，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．