Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且Sn=2an-2(n∈N*)，
（1）求a₁，a₂的值；              
（2）求数列{a_n}的通项a_n；
（3）设c_n=（3n+1）a_n，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）直接利用Sn=2an-2(n∈N*)，通过n=1，2，求出a₁，a₂的值；
（2）利用S_n-S_n-1=a_n，推出数列{a_n}是等比数列，求出通项公式．
（3）求出C_n，利用错位相减法，求出数列{c_n}的前n项和T_n．

解答：解：（1）由S₁=2a₁-2=a₁得a₁=2，
S₂=2a₂-2=a₁+a₂，a₂=4，
（2）∵S_n=2a_n-2，S_n-1=2a_n-1-2，
S_n-S_n-1=a_n，n≥2，n∈N^*，
∴a_n=2a_n-2a_n-1，
∵a_n≠0，
∴

an

an-1

=2，（n≥2，n∈N^*）．
即数列{a_n}是等比数列．
an=2•2n-1=22．
（3）c_n=（3n+1）a_n=（3n+1）2ⁿ．
T_n=4×2+7×2²+10×2³+…+（3n-2）2^n-1+（3n+1）2ⁿ…①，
2T_n=4×2²+7×2³+10×2⁴+…+（3n-2）2ⁿ+（3n+1）2ⁿ⁺¹…②，
①-②得 -Tn=8+3×(22+23+…+2n)-(3n+1)×2n+1…（10分）
=8+3×

22(1-2n-1)

1-2

-(3n+1)×2n+1…（11分）
=8-12+3•2ⁿ⁺¹-（3n+1）•2ⁿ⁺¹…（12分）
=-4+（2-3n）•2ⁿ⁺¹，…（13分）
∴Tn=4+(3n-2)•2n+1．                    …（14分）

点评：本题考查数列的项的求法，通项公式的求法，错位相减法求解数列的和的方法，考查计算能力．