Question

如图，四棱锥S-ABCD底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有

4

个．
①AC⊥SB；  
②AB∥平面SCD；  
③SA与平面ABCD所成的平面角是∠SAD；
④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角．

Answer 1

分析：根据PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，以及三垂线定理，易证AC⊥PB；根据线面平行的判定定理易证AB∥平面PCD；根据直线与平面所成角的定义，可以找出∠PAD是PA与平面ABCD所成的角；异面直线所成的角，利用线线平行即可求得结果．

解答：解：∵PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，
∴连接BD，则BD⊥AC，根据三垂线定理，可得AC⊥PB，故①正确；
∵AB∥CD，AB?平面PCD，CD?平面PCD，
∴AB∥平面PCD，故②正确；
∵PD⊥底面ABCD，
∠PAD是PA与平面ABCD所成的角，故③正确；
∵AB∥CD，
∴AB与PC所成的角是∠PCD，DC与PC所成的角是∠PCD，
而这两个角显然相等，故④正确；
故答案为：4

点评：此题是个中档题．考查线面垂直的性质定理和线面平行的判定定理，以及直线与平面所成的角，异面直线所成的角等问题，综合性强．